考研真题中为何x+y=2能满足一正？如果是一正一负怎么办？

其他回答

• 酒同学
  已知xy是正整数x≤2001x^2+1＝2y^2求所有满足条件的正整数对...
  • 刘老师
    这个叫负佩尔方程把1变成-1的话就是佩尔方程.有一套详细的理论这里符号也打不清楚我就不细说了你要是想了解更详细的理论自己搜一下吧.对于这道题来讲大概是这样的首先平方差公式(x-√2y)(x+√2y)=-1两边取奇数次方(x-√2y)^n(x+√2y)^n=-1这里n是奇数而注意到(x+√2y)^n = xn+√2yn（就是用二项式定理展开然后把有根号的合并这里xnyn都是整数n是下标）同理(x-√2y)^n=xn-√2yn（√2都来自奇数次项负号也体现在奇数次项所以直接yn加负号就好）因此上述等式转化为xn^2 - 2yn^2=-1也就是说如果xy是一组解那么xnyn也是一组解.注意n是奇数这样你已经知道11是解了那么(1+√2)^3=7+5√2因此7和5是一组解接下来(1+√2)^5=41+29√2因此41和29是一组解这样就得到了所有的解.但是直接求n次方比较麻烦所以可以考虑递推式(1+√2)^(n+2)=(1+√2)^n (3+2√2) = (xn+√2yn)(3+2√2)=(3xn+4yn) + (2xn+3yn)√2所以xn yn的下一组解是3xn+4yn和2xn+3yn
• 刘同学
  计算二重积分，∫∫(x+y)dxdy其中d为x^2+y^2≤x+y
  • 徐老师
    这题的积分区域---圆域的圆心为（1/21/2)，半径为(√2)/2
    因为圆心非原点，所以无论用直角坐标还是极坐标，上下限都不好确定。所以应想到把圆域平移到原点处，即用坐标变换。
    但二重积分的坐标变换涉及到雅克比公式，一般来说比较麻烦，而此题只是平移，不涉及旋转，变形之类得，所以可省去雅克比的过程。
    
    令x=(1/2)+u，y=(1/2)+v则积分圆域变为以（00）为圆心，以(√2)/2为半径。
    而原积分=∫∫(1+u+z)dudv
    因为，变换后的积分区域关于u轴和v轴都对称，
    且被积函数1+u+z关于u和v分别为奇函数
    所以，∫∫ududv=∫∫vdudv=0
    故∫∫(1+u+z)dudv=∫∫dudv=变换后圆域面积=π/2
    
    （但注意，平移的时候能像这样代入，因为雅克比行列式等于1，其他变换还要乘以雅克比行列式。）
• 绵同学
  计算第一类曲面积分∫下标l√(x^2+y^2)ds 其中l为圆周x^2+y^2=ax。为什么积分限为-π--π。
  • 郭老师
    如果你用的是参数方程x=(a/2)+(a/2)sint，y=(a/2)cost
    那么积分限是-π→π，或0→2π，都是可以的，结果一样，不过这类题一般来说-π→π会简单些，因为可以利用奇偶对称性来化简。