一般学机器学习的都知道有个定理，就是说整体误差Mean Square Error(MSE)包括了Bias（偏差）和Variance（方差）两个部分，如果参数越来越多，那么Bias会越小，而Variance会越大。道理也很简单，因为参数越多，越容易拟合真实的向量，但每个参数的估计都带来一点随机性，整体方差当然就大了。
一般的最小二乘是无偏估计，为了降低方差，提高泛化能力，一般会牺牲精度，比如各种正则化方法都可以降低方差，但都会引入Bias。
但所有以上这些，都是在低维统计众的结论，也就是默认参数的个数p小于样本的数量n。
但到了高维统计，也就是p>n甚至p>>n的时候，也就是p远大于n的时候，以上结论有时候并不成立。
就好像牛顿力学，只在低速宏观物体运动中成立，但在高速微观运动中并不成立。机器学习、统计学其实跟统计物理有类似的地方。
比如现在的机器学习中有个词叫做double descent，也就是所谓“双重下降”，指的测试误差随着参数个数的增加，一开始先下降，然后上升，这是传统机器学习的情况；但到了高维机器学习，某些情况下，随着参数的增加，它还会继续下降。
比如这是一幅比较经典的double descent的图：
double descent
还有一些简化实验的图
都可以看到，随着features（特征）的数目逐渐增加，测试误差先下降，然后增加，最后继续下降。
这个就具有很强大的现实意义，意味着人们不用担心训练集过度优化，不用担心大力出奇迹，不用担心过度拟合，只要成本可以支持，比如超级计算机够强大，内存足够大，完全可以拟合超级复杂的模型，参数越多越好，反正最后测试集误差也是会下降的。
主要的原因在于，比如p>>n，这里n=200，如果p=400，也就是特征数目是400，远大于样本数量。进一步假设，其中只有200个特征是有意义的，其它都是噪音；那么噪声变量越多，有意义的那部分特征只是一个更小的子空间，预测将越来越不准确，bias会越大，因为预测会越来越不准确；但同时，由于噪声多了，如果加入一定的正则化条件，那么分配给每个特征的系数绝对值会更小，也就是variance会更小，反而不容易过度拟合。
比如我找一篇雄文来说明一下，美国统计学总统奖得主、斯坦福统计系的大佬、统计学习圣经Elements of Statistical Learning的作者Tibshirani，他儿子小Tibshirani在一篇论文是这么写的：
看来美国也是阶层固化啊，统计学大佬的儿子继续搞统计，说不定未来也拿总统奖。学术垄断，世风日下。
回到正题，反正也说明我说的没错，还真有这事。因此，继续可以得到一些反直觉的结论：
  1. 数据不要太多。比如有200个特征，如果用1000个数据，那么是p>n，普通的低维统计；但如果用100个数据，就是p>n，变成高维统计了，高维统计就不怕过度拟合了。
  2. 可以尽情使用更多的参数和更复杂的模型。因为貌似大佬说最后测试误差还是会下降的，那么只要参数越来越多，大力出奇迹就可以的。
  3. double descent不是深度学习特有。
上面例子可以看出，普通的线性回归也会有这样的特性，所以也不要太迷信深度学习。结构太复杂，反而掩盖了事情的本质。
最后简单用R语言做一个实验来验证一下：
random_features <- function(n=100, d=100, num_informative_features=20) {
  y <- rnorm(n)
  X <- matrix(rnorm(n*min(d, num_informative_features)), nrow=n) + y
  if (d>num_informative_features) 
    X <- cbind(X, matrix(rnorm(n*(d-num_informative_features)), nrow=n))
  return (list(X=X,y=y))
library(lmeVarComp)
set.seed(200)
n <- 200
ds <- seq(from=20, to=2*n, by=20)[-10]
num_informative_features <- 1000
nreps <- 10
mses <- matrix(0, nrow=length(ds), nreps)
train_errors <- matrix(0, nrow=length(ds), nreps)
for (rep in 1:nreps) {
  mse <- c()
  train_error <- c()
  for (d in ds) {
    aa <- random_features(n,d,num_informative_features)
    Xtrain <- aa$X
    ytrain <- aa$y
    w <- mnls(Xtrain, ytrain)
    bb <- random_features(round(n/10),d,num_informative_features)
    Xtest <- bb$X
    ytest <- bb$y
    mse <- c(mse, sum((ytest-Xtest%*%w)^2))
    train_error <- sum((ytrain-Xtrain%*%w)^2)
  }
  mses[,rep] <- mse
  train_errors[,rep] <- train_error
}
mean_mse <- apply(mses, 1, mean)
plot(ds,mean_mse, type="l")
最后上图：
很明显看到了double descent，测试误差先下降后上升，在p=n会爆炸，这里图删除了那个点，否则会压缩的太厉害；然后p>n之后又继续下降了。
另外还可以看到训练集的误差是零，高维统计一般可以在训练集做到完美拟合：
mean_te <- apply(train_errors, 1, mean)
plot(mean_te, type="l")

值得注意的是，这里求解使用了minimum norm least squres(mnls)，这个不同于lasso,ridge和least squares，需要用到专门的包求解。由于p&gt;n，普通的最小二乘无法求解，如果是lasso、ridge，似乎没有类似的效果。不清楚python有没有类似的包，Julia会更方便，直接就行。
对于量化交易的启示也类似，如果不怕过度拟合，那么建模是很容易的事情。当然，交易有风险，入行需谨慎，我也只是抛砖引玉。