一、考试的基本要求
要求考生比较系统地理解《数学分析》的基本概念和基本理论,掌握《数学分析》的基本思想和方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
二、考试方法和考试时间
《数学分析》考试采用闭卷笔试形式,试卷满分为150分,考试时间为180分钟。
三、考试内容
(一)数列
1.求数列极限;
2.数列极限的存在性的判定。
(二)一元函数极限
1.求函数极限;
2.归结原则的应用;
3.判定函数的连续性以及各类间断点;
4.函数连续几个性质定理的应用。
(三)一元函数的微分学
1.函数可导的判定;
2.求复合函数的导数、高阶导数以及微分;
3.微分中值定理的应用;
4.泰勒公式的应用;
5.函数极值和最值的求法以及应用;
6.函数凸凹性的判定以及应用;
7.和本章有关的各种不等式的证明。
(四)实数的完备性
1.6个实数的完备性定理的应用。
(五)一元函数的积分学
1.求函数的不定积分以及定积分;
2.函数可积性的性质、判定以及应用;
3.变限积分的解析性质的判定以及应用
4.定积分的应用,例如求平面图形的面积等;
5.反常积分敛散性的判定。
(六)数项级数
1.各类数项级数敛散性的判定;
2.求数项级数的和。
(七)函数列以及函数项级数
1.函数列一致收敛性的判定;
2.函数项级数一致收敛性的判定;
3.函数列和函数项级数的性质定理;
4.函数列以及函数项级数的性质定理的应用,比如利用各种交换性做题。
(八)幂级数
1.求幂级数的收敛域、和函数;
2.幂级数的展开;
3.幂级数的应用,比如求数项级数的和。
(九)多元函数的微分学(二元函数)
1.求二元函数的极限
2.判定二元函数的连续性;
3.求多元函数的偏导数;
4.二元函数可微性的判定;
5.求二元函数的方向导数。
(十)隐函数定理及其应用
1.隐函数(组)存在性的判定;
2.隐函数求导(或者求偏导数);
3.隐函数的几何应用。
(十一)含参量积分
1.含参量正常积分的连续性、可微性、可积性的判定;
2.含参量正常积分的连续性、可微性以及可积性的应用,比如用交换性求函数极
限、求函数导数以及求定积分;
3.含参量反常积分一致收敛性的判定;
4.含参量反常积分的连续性、可微性、可积性的判定以及应用。
(十二)多元函数积分学
1.求第一型曲线积分和第二型曲线积分;
2.求二重积分;
3.格林公式的应用以及曲线积分与路径的无关性;
4.求三重积分;
5.求第一型曲面积分和第二型曲面积分;
6.高斯公式和斯托克斯公式的应用。
四、掌握重点
(一)数列极限的存在性的判定以及求数列极限;
(二)一元函数连续性定理的应用;
(三)一元函数微分中值定理的应用;
(四)实数完备性定理的应用;
(五)一元函数可积性定理的应用;
(六)反常积分收敛性的判定;
(七)数项级数敛散性的判定;
(八)函数列及函数项级数一致收敛性的判定,以及性质定理的应用;
(九)幂级数收敛域和和函数的求法以及求数项级数和的方法;
(十)多元函数的极限、连续以及可微性的判定
(十一)隐函数存在性的判定、求导以及几何应用;
(十二)含参量积分的连续性、可微性、可积性的判定以及性质定理的应用;
(十三)求多元函数的各类积分;
(十四)格林公式、高斯公式以及斯托克斯公式的应用。
五、主要参考书目
[1]华东师范大学数学系编.《数学分析》上下册(第四版),高等教育出版社,2010.
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